Géométrie
Septembre 2016
Je mesure la largeur et la longueur de mon cahier :
Longueur: 29 cm et 5 mm ou 290 mm + 5 mm = 295 mm
29 cm et 7 mm ou 297 mm
Largeur : 21 cm de largeur ou 210 mm
Remarque : sur le cahier, ces mesures sont écrites de la façon suivante : 21 x 29,7 cm
Epaisseur : 5 mm ou 0,5 cm
On peut mesurer une distance en millimètres, en centimètres, ou bien en mêlant ces deux unités. Exemples:
150 mm = 15 cm
25 mm = 2 cm + 5 mm = 2,5 cm
10 mm = 1 cm
5 mm = 1/2 cm = 0,5 cm
Préparation du matériel et du cahier de géométrie.
La feuille quadrillée comportera la date, le titre, les consignes numérotées, ainsi que les remarques et les recherches.
La feuille blanche est réservée aux dessins des figures que l'on disposera dans l'ordre, de haut en bas et de gauche à droite. Chaque figure sera numérotée selon la consigne qui lui correspond. Ceci est très important pour comprendre la démarche suivie.
Construisons des figures simples
1/ Tracer une droite légèrement oblique. Nommer cette droite (D).
2/ Tracer une droite horizontale nommée (D').
3/ Tracer deux droites qui se coupent. Que forment-elles ?
Elles forment une intersection. Le point d'intersection appartient à chacune d'elles.
4/ Tracer deux points quelconques nommés A et B.
Tracer la droite passant par ces points. Comment la nomme-t-on ?
On nomme cette droite (AB) pour indiquer qu'elle passe par ces deux points.
Construisons des figures simples (CM2B)
1/ Tracer une droite légèrement oblique.
2/ Tracer une droite horizontale.
3/ Tracer une droite verticale. Remarques : cette droite coupe les deux autres. Elle est perpendiculaire à la droite horizontale.
4/ Tracer deux points A et B. Construire la droite passant par ces points.
Reprise de la leçon précédente :
Comment nomme-t-on la droite passant par A et par B ? On nomme cette droite (AB).
Comment nomme-t-on le segment de droite limité par A et par B ?
On nomme ce segment [AB].
Peut-on mesurer la distance de A à B ? Comment l'écrit-on ? Oui, on la note AB = .... mm
Construire le milieu du segment [AB]. Le nommer I.
Remarque : on a tracé deux petits traits égaux et obliques de part et d'autre du point I, pour indiquer que [AI] et [IB] sont de même longueur.
Géométrie et sciences avec les CM2 B:
Tracer deux points A et B. Construire la droite passant par ces points.
Comment nommer cette droite ? On la nomme (AB).
Repasser en rouge le segment de droite limité par les points A et B.
Comment nommer ce segment ? On le nomme [AB].
Remarque : A et B sont les extrémités du segment.
Peut-on mesurer la droite (AB) ? Non, car une droite ne se termine jamais, elle n'a ni début ni fin. La mesurer n'aurait pas de sens.
Que peut-on mesurer dans la figure tracée ?
On peut mesurer la longueur du segment [AB].
On la note AB = 145 mm par exemple.
Tracer les segments [CD], [EF] et [GH] ayant respectivement pour longueur 60 mm, 80 mm et 50 mm.
Construire le milieu de ces segments (nommés I, J, et K).
Construire le milieu d'un segment
Pour trouver le milieu d'un segment, on peut mesurer sa longueur et la diviser par deux. Mais cette méthode est peu fiable. Mieux vaut utiliser le compas.
On remarque que si le compas conserve la même ouverture pour tracer les deux arcs, on obtient deux arcs rapprochés entre lesquels il est facile de viser le milieu du segment.
Seconde méthode
Première étape : je trace deux grands arcs d'un rayon un peu supérieur à la moitié du segment.
Seconde étape : je repère les points d'intersection des deux arcs, et je trace la droite passant par ces points:
1/ Je remarque que l'intersection de la droite avec mon segment correspond au milieu du segment.
2/ Je remarque que cette droite est perpendiculaire au segment.
- Lorsqu'on trace deux cercles sécants de même rayon, la droite qui passe par les points d'intersection des deux cercles est perpendiculaire au segment qui joint le centre des cercles. Elle marque le milieu de ce segment. On dit que cette droite est la médiatrice du segment.
OctobreLes médiatrices d'un triangle.
Avec le compas, on trace un arc de cercle pointé sur A, puis un arc de cercle de même rayon pointé sur B.
L'intersection des arcs donne deux points remarquables.
La droite qui passe par ces deux points est perpendiculaire au segment [AB], et passe par son milieu. On l'appelle la médiatrice du segment.
Nous avons tracé les 3 médiatrices du triangle ABC, et remarqué qu'elles se coupent toutes en un même point, que l'on appelle le point de concours des médiatrices.
Droites joignant le milieu des côtés d'un triangle
On a tracé un triangle quelconque. On a construit au compas le milieu de chacun de ses côtés.
On a alors tracé les droites joignant les milieux des côtés.
On a remarqué que chacune d'elle était parallèle à l'un des côtés du triangle.
A retenir : la droite qui joint le milieu des côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
Remarque : ces droites font apparaître dans la figure des triangles en réduction qui ressemblent au triangle dont on est parti. On les appelle "triangles semblables" car ils ont les mêmes proportions. On remarque qu'ils sont deux fois plus petits que l'original.
Dans l'Ile mystérieuse de Jules Verne, Harbert et Cyrus utilisent le principe des triangles semblables pour calculer la hauteur d'une falaise à l'aide d'un simple bâton.
Géométrie Je dessine les poulies et le palan (vu en technologie).
Pour ce dessin, on utilise le compas et la règle. Le dessin de la corde s'enroulant sur les poulies suppose que l'on trace des traits tangents aux cercles (c'est à dire des traits qui touchent le cercle sans le couper).
Il faut aussi veiller à l'alignement des centres des poulies sur l'axe vertical.
Géométrie CM2
Le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. On l'appelle le parallélogramme des milieux.
Novembre
Distance d'un point à une droite (titre à déduire des travaux ci-dessous)
1/ Tracer une droite quelconque (D).
2/ Placer un point A "au-dessus" de la droite, un point B "au-dessous" et un point C sur la droite.
3/ Mesurer la distance de chaque point à la droite (D).
Que signifie cette consigne ? Peut-on mesurer la distance d'un point à une droite ?
Après réflexion et essais sur le papier, on comprend que la question a du sens si l'on choisit le chemin le plus court.
Réponse :
- Oui, à condition de choisir le plus court chemin du point à la droite.
Il faut donc utiliser l'équerre pour mener la perpendiculaire à la droite (D), passant par le point A.
Le segment qui va de A à (D) représente la distance du point à la droite.
Remarque : la distance du point C à la droite est égale à zéro.
Quand un point appartient à une droite, sa distance à la droite est nulle.
Une autre façon de mesurer la distance:
Pauline, Eros, Laurine, Mathilde et Lola nous présentent une autre méthode :
- On utilise le compas dont on place la pointe sur le point considéré. On trace un arc de cercle qui doit toucher la droite sans la couper.
On obtient un arc tangent à la droite.
La distance du point à la droite correspond au rayon de l'arc.
Séquence suivante : Reprise des travaux sur la distance d'un point à une droite.
La seconde technique consiste à tracer un arc de cercle tangent à la droite. On trace alors un rayon du cercle dont la mesure correspond à la distance du point à la droite.
Comment expliquer en termes simples ce que l'on a étudié ? (résumé pour l'autre classe de CM2)
- Distance d'un point à une droite
- 1/ Tracer une droite quelconque (D).
- 2/ Placer un point A au-dessus de la droite, un point B au-dessous et un point C sur la droite.
- 3/ Mesurer la distance de chaque point à la droite (D).
Après plusieurs essais, on comprend qu'il faut choisir le chemin le plus court.
Il faut donc utiliser l'équerre pour mener la perpendiculaire à la droite (D), passant par le point A.
Le segment qui va du point A à la droite (D) représente la distance du point à la droite.
Exercice de réflexion et de recherche
Tracer une droite quelconque (D).
Construire une droite (D') distante de 40 mm de (D).
Après divers essais, on utilise la méthode des arcs de cercle qui est simple et fiable :
On trace d'abord deux arcs de cercle centrés sur (D) et de rayon 40 mm.
Décembre :
Travaux pratiques avec les règles à rouleaux:
Ces instruments permettent de tracer des droites parallèles, à condition de travailler sur un support bien plat, et de bien appuyer pour éviter de déraper.
Lorsque deux paires de droites parallèles se coupent, elles forment une figure dont les côtés sont parallèles deux à deux : cette figure est un parallélogramme.
On remarque que les côtés sont aussi égaux deux à deux.
TP : Représenter des fractions:
Partage d'un rectangle de 10 cm en fractions égales (sur le modèle des barrettes en plastique):
Partage d'un disque en fractions égales - Initiation à l'usage du rapporteur
Sachant que le cercle complet compte par convention 360° d'angle, quel doit être l'angle correspondant au demi, au tiers, au quart, au cinquième, au sixième, au huitième et au dixième du disque plein ?
On commence par diviser 360° par 2, par 3, par 4 etc. afin de calculer les angles :
page en cours de saisie
Agrandissements et réductions de figures :
En lien avec les travaux sur les fractions et les pourcentages associés, nous tentons de reproduire une figure simple en changeant ses dimensions.
Ici le triangle conserve ses proportions car on augmente ou diminue dans une même mesure sa hauteur et sa largeur (respectivement 50 mm et 30 mm).
200% : le double 50% : la moitié 25% : le quart 10% : le dixième de la taille de l'original.
Remarque : les triangles obtenus sont des triangles semblables. (voir plus haut)
Suite : voir la géométrie depuis janvier 2017
